1. This student took an active part in the public life of his Institute.
Этот студент принимал активное участие в общественной жизни своего института.
Took - Past Indefinite Active от нестандартного глагола to take принимать.
2. The achievements in science will provide for the progress in the economy of
the Russian Federation.
Достижения в области науки обеспечат прогресс в экономике Российской Федерации.
Will provide - Future Indefinite Active от стандартного глагола to provide обеспечивать.
3. Russian machine-builders use the latest technical achievements in their
work.
Российские машиностроители используют новейшие технические достижения в своей работе.
Use - Present Indefinite Active от стандартного глагола to use использовать.
4. The extra-mural students received paid leaves for their exams.
Студенты-заочники получили оплачиваемые отпуска к экзаменам.
Received - Past Indefinite Active от стандартного глагола to receive получать.