СРОЧНО 65 БАЛОВ ДАЮ Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює a , а висота...

Дано: Кут α при основі рівнобедреного т-ка; висота b, опущена на бічну сторону. Знайти бічну сторону.

Рішення:

Нехай основа рівнобедреного Δ дорівнює a.

Виразимо а через синус кута α:

$sin\alpha =\frac{b}{a} \:\: \Leftrightarrow \:\: a = \frac{b}{sin\alpha }$

Проведемо висоту h до основи a. Виразимо h через тангенс кута α:

$tg\alpha =\frac{h}{\frac{b}{2sin\alpha } } \:\: \Leftrightarrow \:\: h = \frac{b\cdot tg\alpha}{2sin\alpha }$

Нехай бічна сторона т-ка рівна c. Знайдемо площу Δ:

$S = \frac{a\cdot h_a}{2} = \frac{b}{sin\alpha } \cdot \frac{b\cdot tg\alpha}{2sin\alpha } = \frac{b^2}{sin\alpha } \cdot \frac{sin\alpha }{2sin\alpha\cdot cos\alpha } =\frac{b^2}{2sin2\alpha } \:\: (kvadr.\:edenitc)$

Виразимо сторону c через площу тр-ка:

$S=\frac{c\cdot b}{2} \:\: \Leftrightarrow \:\: c=\frac{2S}{b} \\\\c=\frac{2\cdot b^2}{2b\cdot sin2\alpha }=\frac{b}{sin2\alpha }$

Відповідь: бічна сторона рівнобедреного т-ка рівна відношенню висоти, проведеної на бічну сторону, на синус подвійного кута α.