Найдите наименьшее значение функции
y=4^(x^2-2x+5)
Решение
Показательная функция вида у= a^x с основанием а = 4 > 1(возрастающая функция) принимает наименьшее значение при минимальном значении аргумента. Поэтому необходимо найти минимальное значение квадратного трехчлена x^2-2x+5.
На графике y = x^2-2x+5 - это парабола с ветвями вверх( так как коэффициент при х^2 больше нуля 1>0) и минимумом (вершиной) параболы находящейся в точке
x = -(-2)/(2*1) =1 ( вершина параболы вида ax^2+dx+с находится по формуле х=-b/(2a))
Поэтому минимальное значение функции равно
y=4^(1^2-21+5) = 4^4 =256
Ответ: ymin = 256
Можно также провести исследование этой функции
y=4^(x^2-2x+5)
Производная
y' = (4^(x^2-2x+5))' = 4^(x^2-2x+5)*(ln(4))*(x^2-2x+5)'= 4^(x^2-2x+5)*(ln(4))*(2x-2)
Определим критические точки
y' = 0 или 4^(x^2-2x+5)*(ln(4))*(2x-2) =0
2х - 2 = 0
х = 1
Определим методом подстановки знаки первой производной и нанесем их на числовую ось
- 0 +
----------------!-----------
1
Таким образом видно, что в точке х=1 функция имеет минимум.
y=4^(1^2-21+5) = 4^4 =256