** растоянии 4см от центра шара проведено сечение. хорда ,удаленная от центра этого...

Question

На растоянии 4см от центра шара проведено сечение. хорда ,удаленная от центра этого сечения на корень5 см стягивает угол 120' . найдите объем шара и площадь его поверхности. за ранее спасибо

Answer 1

Начнем с плоскости сечения шара. Смотрим на нее как бы сверху - видим круг.
Соединим концы хорды, стягивающей угол 120градусов,  и ее середину с центром окружности, ограничивающей плоскость сечения.
Получим прямоугольный треугольник с острым углом 30 градусов, против которого лежит катет, равный √5
Радиус r, как гипотенуза этого треугольника, равен 2√5
Теперь представим себе сечение, которое проходит перпендикулярно плоскости данного сечения.

Диаметр сечения, которое нам было дано, является теперь хордой, расстояние от центра которой до центра шара равно 4 см. Рассмотрим треугольник, который получится, когда мы соединим центр шара и конец этой хорды.
Радиус R шара здесь - гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого нам известны.
R²= (2√5)²+4²=20+16=36
R=√36=6 cм
Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга:
S=4 π R²
S=4 π *36=144 см²
Объем шарав полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.
V=4/3 π R³
V=4π216:3=288π см³

Answer 2

Изобразим круг, который является сечением шара. В нем покажем центр сечения О1, хорду АВ, отрезок О1Д, являющийся расстоянием от О1 до хорды АВ,. Хорда стягивает угол в 120⁰, значит, центральный угол АО1В равен 120⁰. О1Д  делит хорду пополам.

Рассмотрим прямоугольный ΔАДО1. В нём угол АДО1 = 90⁰, угол ДО1А = 120⁰:2 = 60⁰, т.к высота равнобедренного ΔАО1В является и биссектрисой. ОА = r - радиус рассматриваемого кругового сечения является гипотенузой в ΔАДО1.

АО1 = ДО1: cos 60⁰ = √5: 0,5 = 2√5(см).

Осталось найти радиус шара.

Изобразим шар с центром в точке О, расстояние ОО1 до сечения задано (ОО1 = 4 см) проведём след сечения  - прямую АО1В параллельную диаметру шара. Рассмотрим прямоугольный ΔАОО1, в котором биссектрисой является радиус шара R=АО, катетами ОО1 = 4см и АО1 = 2√5см.

Используем иеорему Пифагора: R = √(4² +(2√5)²) = √(16 +20) = √36 = 6(см)

Объём шара вычисляется по формуле

V = 4π·R³/3 = 4π·6³/3 = 288π(см³)

Площадь поверхности шара вычислим

S = 4π·R² = 4π·6² = 144π(см²)