1. Решить : 2. Найдите площу фигуры, за этим: , y=1

+194 голосов
6.3m просмотров

1. Решить : 2. Найдите площу фигуры, за этим: , y=1


Алгебра (1.6k баллов) | 6.3m просмотров
Дан 1 ответ
+130 голосов

1. Пусть 2^x=t \Rightarrow 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2 \Rightarrow t^2-5t+4

Решать надо методом интервалов, для этого надо найти нули функции f(t)=t^2-5t+4, решим для уравнение \displaystyle f(t) = 0: t^2-5t+4=0 \ (1-5+4=0) \Rightarrow \left [ {{t=1} \atop {t=\frac{c}{a}=4 }} \right.

Получаем разложение (t-1)(t-4)

Там интервалы были, знаки на них +-+, выбрали средний

Возвращаемся к замене

1

Такой переход имели право сделать, так как функция g(x)=2^x - монотонно возрастающая функция.

2. y=5-x^2 -  парабола с ветвями, направленными вниз, y=1 - просто прямая и фигура, образованная при их пересечении будет такова, что кусок параболы будет лежать выше.

Вспомним, что для f(x)\geq g(x) на некотором интервале, то площадь фигуры будет равна S = \int\limits^b_a {(f(x)-g(x))} \, dx

В нашем случае нужно вычислить пределы, а это как раз абсциссы точек пересечения, то есть нужно решить уравнение

5-x^2=1 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2, пределы нашли, вычисляем:

\displaystyle S = \int\limits^2_{-2} {(5-x^2-1)} \, dx = \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx = \bigg(4x-\frac{x^3}{3}\bigg) \bigg|\limits_{-2}^2 = \\=4\cdot 2-\frac{2^3}{3}-\bigg(4\cdot(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \bigg) =8+8-\frac{8}{3}-\frac{8}{3}=16-\frac{16}{3}=\\=\frac{48-16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}


image
(5.0k баллов)
+113

Спасибо! Проверил себя и увидел недочеты. Отдельная благодарность за объяснение :)