Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10 см. Точка пересечения диагоналей отдалена от оснований на 2 см и 3 см. Найдите площадь этой трапеции.
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:
Четырёхугольник ABCD - равнобедренная трапеция (AD = BC, DC и АВ - основания).
DC < АВ.
АС и DB - диагонали.
Точка О - точка пересечения АС и DB.
ОЕ - расстояние от точки О до DC.
ОН - расстояние от точки АВ.
ОЕ = 2 см.
ОН = 3 см.
DC = 10 см.
Найти:
S(ABCD) = ?
Решение:
Рассмотрим ΔDOC и ΔBOA. По свойству трапеции ΔDOC ~ ΔBOA (это не сложно доказать, если рассмотреть пару равных накрест лежащих углов при параллельных прямых).
ОН - высота ΔBOA, ОЕ - высота ΔDOC. У подобных треугольников отношение линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и так далее) равно коэффициенту подобия.
∠DOC = ∠AOB (так как они вертикальные). В подобных треугольниках против равных углов лежат сходственные стороны. А отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
То есть -
Подставим известные нам значения в формулу -
AB = 15 см.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.
Отрезок ЕН - высота, так как перпендикулярна основаниям. ЕН = ОЕ+ОН = 2 см+3 см = 5 см.
Полусумма оснований = 0,5*(DC+АВ) = 0,5*(10 см+15 см) = 0,5*25 см = 12,5 см.
S(ABCD) = 12,5 см*5 см = 62,5 см².
Ответ: 62,5 см².
