Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС, если А (-5; 5), В(2;-3),...

$A(-5,5)\; ,\; \; B(2,-3)\; \; ,\; \; C(-6,4)$

Найдём координаты середины стороны ВС, точки М, и середины стороны АВ, точки N . Затем напишем уравнения медиан АМ и CN.

$M(\frac{2-6}{2}\; ;\; \frac{-3+4}{2})\; ,\; M(-2\, ;\, \frac{1}{2}\, )\; \; ,\; \; N(\frac{-5+2}{2}\, ;\, \frac{5-3}{2})\; \; ,\; \; N(-\frac{3}{2}\, ;\, 1\, )\\\\AM:\; \; \dfrac{x+5}{-2+5}=\dfrac{y-5}{\frac{1}{2}-5}\; \; ,\; \; \dfrac{x+5}{3}=\dfrac{y-5}{-4,5}\; \; ,\; \; -4,5x-22,5=3y-15\; ,\\\\3y=-4,5x-7,5\; \; ,\; \; \; \underline{y=-1,5x-2,5}$

$CN:\; \; \dfrac{x+6}{-\frac{3}{2}+6}=\dfrac{y-4}{1-4}\; \; ,\; \; \dfrac{x+6}{4,5}=\dfrac{y-4}{-3}\; \; ,\; \; -3x-18=4,5y-18\; \; ,\\\\4,5y=-3x\; \; ,\; \; \underline {\; y=-\frac{2}{3}\, x\; }$

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.Найдём точку пересечения медиан АМ и CN .

$\left\{\begin{array}{l}y=-1,5x-2,5\\y=-\frac{2}{3}\, x\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{l}-\frac{2}{3}\, x=-1,5x-2,5\\y=-\frac{2}{3}\, x\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{ccc}\frac{5}{6}\, x=-\frac{5}{2}\\y=-\frac{2}{3}\, x\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x=-3\\y=2\end{array}\right\; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; O(-3;2\, )$

Точка пересечения: О( -3; 2) .