В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, СН - высота, АН=4, СН=3. Найдите ВС.

Рассмотрим треугольник АСН - он также прямоугольный (свойство высоты)
Нам в нем известны два катета СН и АН, по т.Пифагора мы можем найти гипотенузу АС.
$AC= \sqrt{ AH^{2} + CH^{2} }$
$AC= \sqrt{ 4^{2} + 3^{2} }$
$AC= \sqrt{ 16 + 9 }$
$AC= \sqrt{ 25}$
$AC=5cm$
Рассмотрим треугольник АВС:
Воспользуемся 2 формулами для нахождения площади:
$S= \frac{h*c}{2}$
h- высота, с - в нашем случае гипотенуза (сторона, к которой проведена высота)
$S= \frac{a*b}{2}$
a,b - катеты
$\frac{a*b}{2} = \frac{h*c}{2}$
$a*b=c*h$
нам известна высота(3см) и катет АС - пусть "а" (5см)
$5b=3c$
выразим c
$c= \frac{5b}{3}$
Далее с помощью теоремы Пифагора найдем катет BС (b)
$c^{2} = a^{2} +b^{2}$
Заменим "c" на наше выражение
$( \frac{5b}{3} )^{2} = 5^{2} +b^{2}$
$\frac{25 b^{2} }{9}=25+ b^{2}$
$25b^{2}= 225+9b^{2}$
$25b^{2}-9b^{2}=225$
$16b^{2}=225$
$b= \sqrt{ \frac{225}{16} }$
$b= \frac{15}{4}$
$b=3,75 cm$