Найдите частное решение линейного дифференциального уравнения:
Находим частное решение, подставляя начальные условия
— частное решение
![y'+\dfrac{y}{x}=\sin x~~~~~\bigg|\cdot x\ne 0\\ \\ y'x+y=x\sin x\\ \\ (y\cdot x)'=x\sin x\\ \\ yx=\displaystyle \int x\sin xdx=\left[\begin{array}{ccc}u=x;~ du=dx\\ \\ dv=\sin xdx;~ v=-\cos x\end{array}\right] =-x\cos x+\\ \\ \\ +\int\cos xdx=-x\cos x+\sin x+C\\ \\ \\ y=\frac{\sin x-x\cos x+C}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%2B%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D%3D%5Csin%20x~~~~~%5Cbigg%7C%5Ccdot%20x%5Cne%200%5C%5C%20%5C%5C%20y%27x%2By%3Dx%5Csin%20x%5C%5C%20%5C%5C%20%28y%5Ccdot%20x%29%27%3Dx%5Csin%20x%5C%5C%20%5C%5C%20yx%3D%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20x%5Csin%20xdx%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Du%3Dx%3B~%20du%3Ddx%5C%5C%20%5C%5C%20dv%3D%5Csin%20xdx%3B~%20v%3D-%5Ccos%20x%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D-x%5Ccos%20x%2B%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%2B%5Cint%5Ccos%20xdx%3D-x%5Ccos%20x%2B%5Csin%20x%2BC%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20y%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20x-x%5Ccos%20x%2BC%7D%7Bx%7D "y'+\dfrac{y}{x}=\sin x~~~~~\bigg|\cdot x\ne 0\\ \\ y'x+y=x\sin x\\ \\ (y\cdot x)'=x\sin x\\ \\ yx=\displaystyle \int x\sin xdx=\left[\begin{array}{ccc}u=x;~ du=dx\\ \\ dv=\sin xdx;~ v=-\cos x\end{array}\right] =-x\cos x+\\ \\ \\ +\int\cos xdx=-x\cos x+\sin x+C\\ \\ \\ y=\frac{\sin x-x\cos x+C}{x}")
— частное решение