Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой...

+987 голосов
988k просмотров

Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающая дугу 90° . Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти площадь боковой поверхности конуса. С обоснованием шагов решения.

Геометрия (25 баллов) | 988k просмотров
Дан 1 ответ
+182 голосов
Правильный ответ

Ответ:

31.25π√2

Объяснение:

  1. Боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую: S=πRL

Хорда АС = 5см. Дуга ∩АС=90°

∠АОС - центральный угол.

  • Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ⇒ ∠АОС=90°

Проведём OD⊥AC. Т.к. ОВ⊥OD - как высота конуса, то по теореме о трёх перпендикулярах ВD⊥АС. ∠ВDО=60°, как угол между сечением (АВС) и плоскостью основания конуса.

ΔАОС-равнобедренный, т.к. АО=ОС=R, в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию является также медианой ⇒АD=DС=2,5 см

В равнобедренном Δ углы при основании равны: ∠А=∠С=90/2=45°

Рассмотрим прямоугольный ΔАDО(∠D=90°). ∠DOA=∠DAO=45° ⇒

ΔАDО - равнобедренный. По свойству равнобедренного Δ: DO=АD=2,5см

cos (A) = \dfrac{AD}{OA} \\\\cos (45) = \dfrac{2.5}{R} \\\\\frac{\sqrt{2} }{2} =\dfrac{2.5}{R} \\\\\\R=\dfrac{5}{\sqrt{2} }

Рассмотрим прямоугольный ΔOBD(∠O=90°).

∠OBD=90-∠ВDО=90-60°=30°, напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы ⇒BD=2*DO=5 см

Рассмотрим прямоугольный ΔCBD(∠D=90°). По теореме Пифагора найдём образующую конуса ВС:

L=BC=\sqrt{BD^{2} +DC^{2} } =\sqrt{5^{2}+2.5^{2} } =\sqrt{156.25} =12.5

Тогда боковая поверхность конуса:

S=\pi RL=\pi *\frac{5}{\sqrt{2} } *12.5=\pi *2.5\sqrt{2} *12.5=31.25\pi \sqrt{2}

(1.1k баллов)
Похожие задачи