Мастер решил склеить футбольный мяч из шестиугольников и четырехугольников, чтобы...

Question

Мастер решил склеить футбольный мяч из шестиугольников и четырехугольников, чтобы выполнялись все традиционные технологии: в каждой вершине сходится ровно 3 ребра и каждые два многоугольника граничат ровно по 1 ребру. Сколько должно быть четырехугольников в таком футбольном мяче?

Answer 1

Ответ:

Ответ: 6.

Выразим искомое количество фигур за x и y. Задачу решим при помощи формулы Эйлера для многогранников (и заодно для планарных, графов, кстати) - Вершины-Ребра+Грани=2. В-Р+Г=2. Данная величина 2 является Эйлеровой характеристикой

Вершин d них изначально 6x+4y, однако, в каждой вершине сходится три ребра, поэтому количество вершин (6x+4y)/3.

К каждому ребру "примыкают" два многоугольника. Ребер (6x+4y)/2.

Граней x+y. Это суммарное количество всех фигур.

Ну дальше школа. (6x+4y)/3 - (6x+4y)/2 + x + y =2.

Решая, мы останемся без икса, а y=6. Это означает, что в такой фигуре будет шесть четырехугольников.

Замечу, что обычно мячи сшиваются из пятиугольников и шестиугольников. И пятиугольников всегда 12, что доказывается точно так же.

Пошаговое объяснение: