Ответ:
1. х ∈ R
2. функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.
3. у = 0; х = 0; х = 4.
х = 0; у = 0.
4. Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Функция возрастает на промежутке (-∞; 2];
убывает на промежутке [2; +∞);
х max = 2
6. график выпуклый
Объяснение:
Требуется исследовать функцию и построить график.
f (x) = -3x² +12x
1. ОДЗ: х ∈ R.
2. Четность, нечетность.
Если f (-x) = f (x) - функция четная, если f (-x) = -f (x) - функция нечетная.
f (-x) = -3 · (-x)² + 12 ²·(-x) = -3x² - 12x
⇒ f (-x) ≠ f (x) ≠ -f (x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.
3. Пересечение с осями координат.
1) Пересечение с осью 0х, то есть у = 0.
-3х² + 12х = 0
-3х (х - 4) = 0
х = 0; х = 4.
2) Пересечение с осью 0у, то есть х = 0.
у = -3 · 0 + 12 · 0 = 0
4. Асимптоты.
Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, экстремумы.
Найдем производную:
f' (x) = -3 · 2x + 12 · 1 = -6x + 12 = -6 (x - 2)
Приравняем производную к нулю и найдем корни:
-6 (х - 2) = 0
х = 2
Отметим эту точку на числовой оси и определим знак производной на промежутках:
++++++++++[2]--------------
Если производная положительная, функция возрастает, если производная отрицательная, функция убывает.
Функция возрастает на промежутке (-∞; 2];
убывает на промежутке [2; +∞)
Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке будет максимум:
х max = 2
f (2) = -3 · 4 + 12 · 2 = 12
6) Выпуклость, вогнутость.
Найдем производную второго порядка.
f'' (x) = (f' (x))' = (-6x + 12)' = -6
Если вторая производная отрицательна, то график выпуклый.
Перегибов нет.
Строим график.