перед нами линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Оно однородное. т.к. правая часть равна нулю. сначала решим характеристическое уравнение.
к²-2к+2=0, к=1±√(1-2)=1±i
Общее решение записываем в виде у=еˣ*(с₁сosx+c₂sinx)
Используя начальные данные, решим задачу Коши.
0=е⁰*(с₁сos0+c₂sin0)=с₁
продифференцируем у, получим у'=еˣ*(с₁сosx+c₂sinx)+еˣ*(с₂сosx-c₁sinx)
подставим х=0, у'=1, с₁=0
1=с₂
Значит, искомое частное решение есть у=еˣ*sinx