Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной...

$\displaystyle\\y=2-\frac{x^2}{2}\mid*2\\\\2y=4-x^2\\\\x^2=4-2y\\\\x=\pm\sqrt{4-2y}\\\\x+y=2\\\\x=2-y$

Видно, что для объема нам нужно взять первый график с "+". Тогда имеем:

$\displaystyle$ $\displaystyle\\V=\pi\int\limits^2_0 {(\sqrt{4-2y})^2-(2-y)^2} \, dy =\pi\int\limits^2_0 {4-2y-4+4y-y^2} \, dy=\\\\\\=\pi\int\limits^2_0 {2y-y^2} \, dy=\pi(y^2-\frac{y^3}{3})\mid^2_0=\pi(2^2-\frac{2^3}{3}-(0-\frac{0}{3}))=\frac{4}{3}\pi$