Нужно знать:
1) основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1;
2) данное уравнение после несложных преобразований будет однородным. Оно решается делением на cos²x ≠ 0 или на sin²х ≠ 0 (т.к. он одновременно нулю равняться не могут).
Поэтому:
sin²x + 5sinxcosx + 2cos²x = -1,
sin²x + 5sinxcosx + 2cos²x = -(sin²x + cos²x),
sin²x + 5sinxcosx + 2cos²x + (sin²x + cos²x) = 0,
2sin²x + 5sinxcosx + 3cos²x = 0, | : cos²x ≠ 0
2tg²x + 5tgx + 3 = 0,
обозначим tgx = t и получим уравнение:
2t² + 5t + 3 = 0,
D = 5² - 4 · 2 · 3 = 25 - 24 = 1; √1 = 1;
t₁ = (-5 - 1)/(2 · 2) = -6/4 = -1,5,
t₂ = (-5 + 1)/(2 · 2) = -4/4 = - 1.
Теперь найдем корни исходного уравнения:
1) tgx = - 1,5
x = -arctg(1,5) + πk, k ∈ Z;
2) tgx = -1
x = -π/4 + πn, n ∈ Z.
Ответ: -arctg(1,5) + πk, k ∈ Z; -π/4 + πn, n ∈ Z.