Найти екстремум функции f(x;y)=x^3-y^2+2xy-6x-2y

Ответ:

$f(x,y) = x^{3} - y^{2} + 2xy - 6x - 2y$

Найдём частные производные

по x' = $3x^{2} + 2y -6$

по y' = $2x-2y-2$

Решим систему уравнений.

$3x^{2} + 2y -6$ = 0;

$2x-2y-2$ = 0;

Получаем: x₁ = -2; x₂ = 4/3

y₁ = -3; y₂ = 1/3

Количество критических точек равно 2.

M₁(-2;-3), M₂(4/3;1/3)

Найдем частные производные второго порядка

по x'' = 6x

по y'' = -2

по xy''= 2

Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).

Вычисляем значения для точки M₁(-2;-3)

A = по x'' = -12

B = по xy'' = 2

C = по y'' = -2

AC - B² = 20 > 0 и A < 0 , то в точке M₁(-2;-3) имеется максимум z(-2;-3) = 13

Вычисляем значения для точки M₂(4/3;1/3)

A = по x'' = 8

B = по xy'' = 2

C = по y'' = -2

AC - B² = -20 < 0, то глобального экстремума нет

Ответ: в точке M₁(-2;-3) max = 13.

фуууххх вроде бы как-то так)