Дана функция y = 4x^3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0...

+434 голосов
4.9m просмотров

Дана функция y = 4x^3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 7.


Алгебра | 4.9m просмотров
Дан 1 ответ
+120 голосов

Так как существует конечный предел

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{f(x) - f(x_0 )}}{{x - x_0 }} = k\]

То график функции f(x)=4x^3 имеет касательную в точке (x_0,f(x_0)).

Запишем уравнение касательной в общем виде

\[Y = k(X - x_o ) + f(x_0 )\]

Где k - угловой коэффициент касательной. Очевидно, что равен производной функции f(x)\\ (геометрический смысл производной).

Найдем производную это функции с помощью определения

\[f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{4\left[ {x + \Delta x} \right]^3 - 4x^3 }}{{\Delta x}} = 12x^2 \]

Производная в точке x0, равна

\[f'(x_0 ) = 12 \cdot 7^2 = 588\]

Вычислим значение функции в точке x0=7

\[f(x_0 ) = 4 \cdot 7^3 = 1372\]

Тогда уравнение касательной имеет вид

\[Y = 588\left[ {X - 7} \right] + 1372 = 588X - 2744\]

(178 баллов)