Ответ:
1) Плох тот народ (1), который не помнит (2), не ценит (3), не любит своей истории. (1 - запятая отделяет части СПП; 2, 3 - запятые отделяют однородные сказуемые).
2) По морю шла волна (1), и пена (2), облизывая борта парохода (3), тотчас таяла. (1 - запятая между частями ССП; 2, 3 - запятые выделяют обособленное обстоятельство, выделенное деепричастным оборотом).
3) Музыка хороша тем (1), что соединяет людей в одном чувстве. (1 - запятая между частями СПП),
4) Если надо родиться поэтом (1), то надо родиться и народным (2), чтобы выразить своею личностью характеристические свойства своих соотечественников. (1, 2 - запятые между частями СПП).
5) Скоро всё угомонилось (1): притихли птицы (2), застыл воздух (3), потух костёр. (1 - двоеточие после обобщающего слова перед однородными членами;2, 3 - запятые между частями БСП).
6) И моховые болота (1), и пни (2) - всё хорошо под сиянием лунным. (1 - запятая между однородными подлежащими; 2 - тире после однородных членов перед обобщающим словом).
Тотчас, чтобы, соотечественников.
Примечание:
В предложении 5 в задании допущена ошибка. Правильно: Скоро все угомонилось: притихли птицы, застыл воздух, потух костёр. (См. Федосеев Г.А. "Мы едем по восточному Саяну").