Ответ:
1) Я долго шёл по лесу и наконец пришёл к сторожке лесника.
Наконец можно заменить синонимом "в конце концов", значит, запятые не ставятся.
2) Дождь хлестал в окно, но было тепло.
Сложносочинённое предложение (две грамм. основы : дождь хлестал, было тепло).
3) Поезда шли по расписанию, и мы надеялись уехать вовремя.
Сложносочинённое предложение (две грамм. основы : поезда шли, мы надеялись уехать).
4) Солнце светило ярко, и мы с удовольствием наслаждались теплом.
Сложносочинённое предложение (две грамм. основы : солнце светило, мы наслаждались).