Имеется 10 палочек длины 1; 1,9 ; 1,9² ;......;1,9⁹ . Можно ли из этих палочек, используя...

Question

Дан 1 ответ

Guerrino_zn · Answer 1 · 2024-06-25T13:51:58+0000

а) Можно. Для этого удобно брать палочки, идущие подряд. Возьмем первые 5 палочек: $1=1,9^0,\; 1,9,\; 1,9^2,\; 1,9^3,\; 1,9^4$ .

Построим треугольник ABC: $AB=1+1,9^2,\; BC=1,9+1,9^3,\; AC=1,9^4$ . Заметим, что AB,\; AC>BC" alt="AC>AB,\; AC>BC" align="absmiddle" class="latex-formula">, поэтому можно не рассматривать неравенства треугольника, включающие эту сторону. Осталось доказать, что $AC$ . Действительно $AB+BC=1+1,9+1,9^2+1,9^3=\frac{1,9^4-1}{1,9-1}$ по формуле суммы геометрической прогрессии. Но 1,9^4" alt="\frac{1,9^4-1}{1,9-1}>1,9^4" align="absmiddle" class="latex-formula">. Проверим истинность этого неравенства: 1,9^5-1,9^4 \Leftrightarrow 2\times 1,9^4-1,9^5=1,9^4\times0,1>1\; \checkmark" alt="1,9^{4}-1>1,9^5-1,9^4 \Leftrightarrow 2\times 1,9^4-1,9^5=1,9^4\times0,1>1\; \checkmark" align="absmiddle" class="latex-formula">.

б) Предположим, что можно. Тогда, в частности, можно составить два одинаковых отрезка. Рассмотрим набор степеней числа $1,9$ , которые формируют первый отрезок. Пусть это числа $x_{1},\; x_{2},...,x_{n}$ , для второго отрезка возьмем степени $y_{1},\; y_{2},...,y_{m}$ . Получим $1,9^{x_{1}}+1,9^{x_{2}}+...+1,9^{x_{n}}=1,9^{y_{1}}+1,9^{y_{2}}+...+1,9^{y_{m}}$ (*). Теперь становится ясно, почему это не может быть верно. Ведь то, что мы видим, похоже на запись числа в системе счисления, пусть и "необычной". Но двух различных записей одного числа не бывает. Однако трудно говорить об этом, имея дробную систему счисления. Пусть x_{j}, \forall i>j\;\; \&\;\; y_{i}>y_{j},\forall i>j" alt="x_{i}>x_{j}, \forall i>j\;\; \&\;\; y_{i}>y_{j},\forall i>j" align="absmiddle" class="latex-formula">, другими словами, степени расставлены по порядку. Умножим уравнение на $10^{\max(x_{n},\;y_{m})}$ , получим только целые числа вида $10^{\alpha}19^{\beta}$ . Пусть $\alpha\geq \beta$ . Выберем такое число $\gamma$ , что \alpha>\gamma" alt="2\gamma >\alpha>\gamma" align="absmiddle" class="latex-formula">. Тогда число $(190)^{\gamma}\times 10^{\alpha-\gamma}\times 19^{\beta-\gamma}$ записано в системе счисления 190, поскольку, как легко видеть, $10^{\alpha-\gamma}\times 19^{\beta-\gamma}$ . Отсюда и следует наше противоречие.

Впрочем, кажется, что это перебор, и можно было решить проще: в (*) вычеркнем равные члены с обеих сторон. Получим, что сумма разных степеней равна другой сумме разных степеней. Теперь в левой части к большим степеням перекинем с правой стороны меньшие, а для правой части наоборот. Значит, отрицательное число равно положительному. Противоречие.

Однако для тренировки, мне представляется, было полезно рассмотреть оба подхода.