Обозначим основание вершин треугольника А В С, а высоту ДО. В основании правильной трёхугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник, поэтому АВ=ВС=АС=18см. Найдём его площадь по формуле: S=а²√3/4, где а- сторона треугольника.
S=18²√3/4=324√3/4=81√3см²
Итак: Sосн=81√3см²
Проведём в ∆АВС высоту ВК. Теперь найдём высоту ВК, через площадь по формуле: S=½×a×ВК, где а - сторона основания, а ВК- высота, которая проведена к стороне:
½×18×ВК=81√3
9h=81√3
ВК=81√3÷9
ВК=9√3см
Так как ∆АВС равносторонний, то высота ВК является ещё и медианой, и точка О является ортоцентром ∆АВС, пересекаясь в этой точке все медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1. Поэтому ВО:ОК=2:1. Обозначим эти пропорции как х и 2х и составим уравнение:
х+2х=9√3
3х=9√3
х=9√3÷3
х=3√3
Итак: ОК=3√3см, тогда ОВ=3√3×2=6√3см
Рассмотрим ∆ВОД. Он прямоугольный и в нём ВО и ДО являются катетами а ВД - гипотенуза. Найдём боковое ребро ВД по теореме Пифагора: ВД²=ОД²+ОВ²=
=24²+(6√3)²=576+36×3=576+108=684см
ВД=√684=6√19см
Так как пирамида правильная то все её рёбра равны: АД=СД=ВД=6√19см.
Найдём площадь боковой грани пирамиды по формуле: Рассмотрим боковую грань ВСД. Она является равнобедренным треугольником. Проведём апофему (высоту боковой грани) ДН. Она делит этот треугольник на
2 прямоугольных треугольника, в которых АН и СН - катеты, а ВД и СД - гипотенуза, и ДН является ещё медианой, поскольку ∆ДВС - равнобедренный, поэтому ВН=СН=18/2=9см
Найдём апофему ДН по теореме Пифагора: ДН²=СД²-СН²=(6√19)²-9²=
=36×19-81=684-81=603; ДН=√603=3√67см
ДН=3√67см
Теперь найдём площадь боковой грани пирамиды зная её сторону и апофему по формуле: S=½×а×h=½×9×3√67=4,5×3√67=
=13,5√67см²
Итак: Sбок.гр=13,5√67см²
Поскольку таких граней 3, то площадь боковой поверхности будет:
Sбок.пов=13,5√67×3=40,5√67см²
Теперь найдём площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади её основания и боковой поверхности:
Sпол=Sосн+Sбок.пов=81√3+40,5√67=
=81×1,73+40,5×8,19=140,13+331,695=
=471,825см²
ОТВЕТ: Sосн=81√3≈140,13см²;
Sбок.пов=40,5√67≈331,695см²;
Sпол=471,825см²