По-домашнему - наречие.
Помним, что наречие - неизменяемая часть речи! Поэтому, здесь окончания нет!
Итак, вот морфемный разбор :
Без окончания.
По - приставка.
Ему - суффикс.
А - суффикс.
Шн - суффикс.
Дом - корень.
По-домашнему - основа.
Словообразовательный :
Домашний => Домашнему => По-домашнему (приставочно-суффиксальный способ).