1) x^2y'+y^2=0, если y=1 при x=-1 2) xy'+y=3 3) xy'+y=x+1, y(1)=0 4) xy'-y=3 5)...

+819 голосов
5.7m просмотров

1) x^2y'+y^2=0, если y=1 при x=-1 2) xy'+y=3 3) xy'+y=x+1, y(1)=0 4) xy'-y=3 5) y''-4y'+3y=0 6) ay''+by'+cy=d , a=3, b=5, c=2, d=8, y(0)=6, y'(0)=-4


Математика | 5.7m просмотров
Дан 1 ответ
+185 голосов

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) x^2y' +y^2 = 0, y(-1)=1.

x^2\frac{dy}{dx} = -y^2;

Разделим переменные. При этом мы можем потерять решение y=0, но т.к. оно не удовлетворяет дополнительному условию, то оно не будет являться искомым решением.

image \int -\frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2} => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x}+C." alt="-\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2} => \int -\frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2} => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x}+C." align="absmiddle" class="latex-formula"> Используем дополнительное условие для определения константы:

image 1 = 1 +C => C =0 => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x} => y=-x" alt="\frac{1}{1}=-\frac{1}{-1} + C => 1 = 1 +C => C =0 => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x} => y=-x" align="absmiddle" class="latex-formula">

Ответ: y=-x

2) xy'+y=3. Так как это уравнение является линейным неоднородным, то решение можно искать в виде суммы общего решения линейного однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнений: y=y_o +\bar y

Рассмотрим однородное уравнение:

image xy'=-y => \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x} => \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} => \ln|y|=-\ln|x|+\ln|C| => \ln|y|=\ln|\frac{C}{x}| => y_o=\frac{C}{x}" alt="xy'+y = 0 => xy'=-y => \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x} => \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} => \ln|y|=-\ln|x|+\ln|C| => \ln|y|=\ln|\frac{C}{x}| => y_o=\frac{C}{x}" align="absmiddle" class="latex-formula">

(модули можно опустить без знака плюс-минус в следствие произвольности постоянной С. При делении на y мы могли потерять решение y=0, но оно входит в семейство кривых при С=0)

Частное решение неоднородного уравнения легко угадывается: \bar y= 3

Следовательно, общее решение исходного уравнения: y = \frac{C}{x} + 3

Ответ: y=\frac{C}{x}+3, C - const

3) xy' + y = x+1, y(1) =0

Данное уравнение отличается от предыдущего только неоднородностью, поэтому нужно просто подобрать другое частное решение, удовлетворяющее неоднородности. Имеет смысл ее искать в виде: \bar y= Ax+B, подставим его в уравнение:

Ax + Ax + B = x +1;

2Ax + B = x + 1;

Два полинома тождественно равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях:

image A=\frac{1}{2}, B=1 => \bar y = \frac{x}{2}+1" alt="2A = 1, B=1 => A=\frac{1}{2}, B=1 => \bar y = \frac{x}{2}+1" align="absmiddle" class="latex-formula">

Следовательно, общее решение исходного уравнения: y= \frac{C}{x} +\frac{x}{2}+1

Найдем константу из дополнительного условия:

image C = -\frac{3}{2} => y=-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}+1" alt="y(1)=C + \frac{1}{2}+1 = 0 => C = -\frac{3}{2} => y=-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}+1" align="absmiddle" class="latex-formula">

Ответ: y=-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}+1

4) xy'-y=3.

Применим алгоритм из пункта 2

image \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} => \ln|y|=\ln|Cx| => y_o=Cx" alt="xy'-y = 0 => \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} => \ln|y|=\ln|Cx| => y_o=Cx" align="absmiddle" class="latex-formula">

Частное решение неоднородного уравнения легко угадывается: \bar y = -3

Следовательно, общее решение исходного уравнения: y= Cx-3

Ответ: y=Cx-3, C - const

5) y''-4y'+3y=0.

Имеем дело с линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Его частные решения ищутся в виде: y = e^{kx}. Тогда характеристическое уравнение есть

image (k-1)(k-3) =0 => k_1=1, k_2=3." alt="k^2-4k+3 =0 => (k-1)(k-3) =0 => k_1=1, k_2=3." align="absmiddle" class="latex-formula">

Общее решение такого уравнения записывается в виде линейной комбинации линейно независимых частных решений, экспоненты с неравными показателями являются линейно независимыми:

y=C_1e^x+C_2e^{3x}

Ответ: y=C_1e^x+C_2e^{3x}, C_{1,2} - const

6) 3y''+5y'+2y=8, y(0)=6, y'(0)=-4

Общее решение является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Рассмотрим однородное: 3y''+5y'+2y=0

Характеристическое уравнение: image 3(k+1)(k+\frac{2}{3})=0 => k_1=-1, k_2=-\frac{2}{3}" alt="3k^2+5k+2=0 => 3(k+1)(k+\frac{2}{3})=0 => k_1=-1, k_2=-\frac{2}{3}" align="absmiddle" class="latex-formula">

y_o = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x/3}

Частное решение легко угадывается: \bar y = 4

Общее решение: y= C_1e^{-x}+C_2e^{-2x/3}+4

Определим постоянные из дополнительных условий:

image \left \{ {{C_1+C_2=2} \atop {-C_1-\frac{2}{3}C_2 = -4}} \right. => \left \{ {{C_1=8} \atop {C_2=-6}} \right. => y = 8e^{-x} -6e^{-2x/3}+4" alt="\left \{ {{y(0)=C_1+C_2+4=6} \atop {y'(0)=-C_1-\frac{2}{3}C_2 = -4}} \right. => \left \{ {{C_1+C_2=2} \atop {-C_1-\frac{2}{3}C_2 = -4}} \right. => \left \{ {{C_1=8} \atop {C_2=-6}} \right. => y = 8e^{-x} -6e^{-2x/3}+4" align="absmiddle" class="latex-formula">

Ответ: y=8e^{-x}-6e^{-2x/3}+4

(5.9k баллов)