Решить дифференциальное уравнение (2x+1)dx-6ydy=0 и найти его частное решение,...

+88 голосов
2.5m просмотров

Решить дифференциальное уравнение (2x+1)dx-6ydy=0 и найти его частное решение, удовлетворяющее условиям: при x=1 y=2.

Математика | 2.5m просмотров
Дан 1 ответ
+71 голосов

Ответ:

y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }

Пошаговое объяснение:

(2x+1)dx-6ydy=0

(2x+1)dx=6ydy

\int\limits{(2x+1)} \, dx=\int\limits{(6y)}\, dy

x^{2} +x+C_{1} =3y^{2}+C_{2}

3y^{2} =x^{2} +x+C_{1}-C_{2} ; C_{1}-C_{2}=C

3y^{2} =x^{2} +x+C

y^{2} =\frac{x^{2} +x+C}{3}

\sqrt{y^{2}} =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}

|y| =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}

Отсюда получаем два решения:

y =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}}

y =-\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}}

Подставляем  в них x=1 и y=2  и решаем полученные уравнения относительно константы C:

2=\sqrt{\frac{1^{2} +1+C}{3} }

2^{2} =\sqrt{\frac{1^{2} +1+C}{3} } ^{2}

4=\frac{2+C}{3}

12=2+C

C=10 ; Тогда наша функция принимает вид:

y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }

Второе уравнение решений не имеет, поэтому ответ:

y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }

(261 баллов)
Похожие задачи