Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = (y^3-2x)i+(z^2+4y)j+(x^3-3z)k

Question 1

Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = (y^3-2*x)*i+(z^2+4*y)*j+(x^3-3*z)*k

Question 2

Ответ:

div F = -1, rot F = -2z i-3x^2 j-3y^2 k

Пошаговое объяснение:

Пусть задано векторное поле $\vec F = (A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z))$

Дивергенцией векторного поля называют величину: $div \bar F = \frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}$

Ротором векторного поля называют вектор: $rot \bar F = \left|\begin{array}{ccc}\bar i&\bar j&\bar k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\A&B&C\end{array}\right|$

Считаем:

$div \bar F = \frac{\partial}{\partial x}(y^3-2x)+\frac{\partial}{\partial y}(z^2+4y)+\frac{\partial}{\partial z}(x^3-3z) = -2+4-3=-1$

$rot \bar F = \left|\begin{array}{ccc}\bar i&\bar j&\bar k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\y^3-2x&z^2+4y&x^3-3z\end{array}\right| = (\frac{\partial}{\partial y}(x^3-3z)-\frac{\partial}{\partial z}(z^2+4y))\bar i + (\frac{\partial}{\partial z}(y^3-2x)-\frac{\partial}{\partial x}(x^3-3z))\bar j+(\frac{\partial}{\partial x}(z^2+4y)-\frac{\partial}{\partial y}(y^3-2x))\bar k = -2z\bar i-3x^2\bar j-3y^2\bar k$