Упростите сложный радикал:

Ответ:

$\sqrt{a+\sqrt{a^2-9} } =\sqrt{a+\sqrt{(a-3)(a+3)} } =\sqrt{a+2*\frac{\sqrt{(a-3)(a+3)}}{2} }= \\ \\ =\sqrt{a+2*\sqrt{\frac{(a-3)(a+3)}{4}}}=\sqrt{a+2*\sqrt{\frac{a-3}{2}}*\sqrt{\frac{a+3}{2}}}= \\ \\ =\sqrt{\frac{a-3}{2}+2*\sqrt{\frac{a-3}{2}}*\sqrt{\frac{a+3}{2}}+\frac{a+3}{2}}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{a-3}{2}}+\sqrt{\frac{a+3}{2}}\right)^2} = \\ \\ =\sqrt{\frac{a-3}{2}}+\sqrt{\frac{a+3}{2}}$

Объяснение:

$\sqrt{a+\sqrt{a^2-9} } =\sqrt{a+\sqrt{(a-3)(a+3)} }$

чтобы упростить выражение с квадратным корнем, нужно, чтобы подкоренное выражение было полным квадратом.

То есть под корнем должно быть (m+n)²

Так как (m+n)²=m²+2mn+n², значит в нашем случае

$m^2+n^2=a \\ 2mn=\sqrt{a^2-9} \ \Rightarrow \ mn=\frac{\sqrt{a^2-9}}{2}=\frac{\sqrt{(a+3)(a-3)}}{2}$

Первое что приходит в голову - это рассмотреть полный квадрат следующего выражения:

$(\sqrt{a+3} +\sqrt{a-3})^2=a+3+2\sqrt{(a+3)}\sqrt{(a-3)} +a-3=\\ \\ =2a+2\sqrt{(a-3)(a+3)} =2(a+\sqrt{(a-3)(a+3)})=2(a+\sqrt{a^2-9} )$

Тогда

$a+\sqrt{a^2-9} =\frac{(\sqrt{a-3}+\sqrt{a+3} )^2}{2} =\left(\frac{\sqrt{a-3}+\sqrt{a+3} }{\sqrt{2}} \right)^2=\left(\sqrt\frac{a-3 }{2} +\sqrt\frac{a+3 }{2}\right)^2 \\ \\ \sqrt{a+\sqrt{a^2-9}}=\sqrt{\left(\sqrt\frac{a-3 }{2} +\sqrt\frac{a+3 }{2}\right)^2}=\sqrt\frac{a-3 }{2} +\sqrt\frac{a+3 }{2}$