Высшая математика, сумма рядов

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

\frac{1}{3}>\frac{2}{9}>..." alt="\frac{2}{3}>\frac{1}{3}>\frac{2}{9}>..." align="absmiddle" class="latex-formula">

По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{-2}{3n}=0$

Второе условие Лейбница выполняется. Таким образом, ряд сходится. Исследуем теперь ряд на абсолютной и условной сходимости. Для этого рассмотрим данный ряд по модулю

$\Big|\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}\cdot 2}{3n}\Big|=\sum^\infty_{n=1}\frac{2}{3n}$

Этот ряд расходится, так как это гармонический ряд и он является расходящимся.

Таким образом, данный исследуемый ряд сходится условно.

$\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-...=-1+1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-...=\frac{1}{e}\approx0{,}368$