Дано:
Окружность с центром в точке О.
△АОВ.
АВ - хорда.
∠ОВА = 30°
ОВ, ОА - радиусы.
Через В проведена касательная.
Касательная ∩ АО = С.
АС = b.
Найти:
ВС - ?
Решение:
Обозначим касательную, которая проведена через точку В точками ВС.
АС - секущая.
Так как ОВ, ОА - радиусы ⇒ ОВ = ОА ⇒ △АОВ - равнобедренный.
⇒ ∠ОВА = ∠ОАВ = 30°, по свойству равнобедренного треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠ВОА = 180° - (30° + 30°) = 120°
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
ОВ - радиус, проведенный в точку касания с касательной ВС ⇒ ВС ⊥ ОВ.
⇒ △СВО - прямоугольный.
Сумма смежных углов равна 180°.
∠ВОА смежный с ∠ВОС ⇒ ∠ВОС = 180° - 120° = 60°.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠ОСВ = 90° - 60° = 30°
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
⇒ ОВ = 1/2ОС. ⇒ОС = 2 * ОВ = 2R (R - радиус данной окружности)
Найдём BC, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; а, b - катеты)
BC = √(OC² - BO²) = √((2R)² - R²) = √(4R² - R²) = √3R² = R√3
⇒ CD = CO - DO = 2R - R = R
Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
⇒ BC² = CD * AC
(R√3)² = R * b
R = b/3
⇒ BC = √(b * b/3) = b√(3)/3.
Ответ: b√(3)/3.