Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 18, а сумма всех ее членов 16. Найти сумму всех положительных членов прогрессии
Пошаговое объяснение:
Убывающая геометрическая прогрессия имеет вид:
24; -12; 6; -1,5; 0,75; ...
q (положительных членов прогрессии):
Ответ: сумма всех положительных членов убывающей геометрической прогрессии = 32.
![\left\{\begin{array}{ccc}b_1+b_2+b_3=18\\\\S=\frac{b_1}{1-q} =16\end{array}\right=\left\{\begin{array}{ccc}b_1+b_1q+b_1q^2=18\\\\\frac{b_1}{1-q}=16 \end{array}\right =\\=\left\{\begin{array}{ccc}b_1*(1+q+q^2)=18\\\\\frac{b_1}{1-q} \end{array}\right =\left\{\begin{array}{ccc}b_1=\frac{18}{1+q+q^2} \\\\\frac{b_1}{1-q}=16 . \end{array}\right.\\\frac{18}{(1-q)(1+q+q^2)}=16|:2\\\frac{9}{1-q^3}=8\\9=8-8q^3\\8q^3=-1|:8\\q^3=-\frac{1}{8}\\ q=\sqrt[3]{-\frac{1}{8} } \\q=-\frac{1}{2}.\Rightarrow](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Db_1%2Bb_2%2Bb_3%3D18%5C%5C%5C%5CS%3D%5Cfrac%7Bb_1%7D%7B1-q%7D%20%3D16%5Cend%7Barray%7D%5Cright%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Db_1%2Bb_1q%2Bb_1q%5E2%3D18%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7Bb_1%7D%7B1-q%7D%3D16%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%20%3D%5C%5C%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Db_1%2A%281%2Bq%2Bq%5E2%29%3D18%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7Bb_1%7D%7B1-q%7D%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Db_1%3D%5Cfrac%7B18%7D%7B1%2Bq%2Bq%5E2%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7Bb_1%7D%7B1-q%7D%3D16%20.%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5C%5Cfrac%7B18%7D%7B%281-q%29%281%2Bq%2Bq%5E2%29%7D%3D16%7C%3A2%5C%5C%5Cfrac%7B9%7D%7B1-q%5E3%7D%3D8%5C%5C9%3D8-8q%5E3%5C%5C8q%5E3%3D-1%7C%3A8%5C%5Cq%5E3%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%5C%5C%20q%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20%7D%20%5C%5Cq%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5CRightarrow "\left\{\begin{array}{ccc}b_1+b_2+b_3=18\\\\S=\frac{b_1}{1-q} =16\end{array}\right=\left\{\begin{array}{ccc}b_1+b_1q+b_1q^2=18\\\\\frac{b_1}{1-q}=16 \end{array}\right =\\=\left\{\begin{array}{ccc}b_1*(1+q+q^2)=18\\\\\frac{b_1}{1-q} \end{array}\right =\left\{\begin{array}{ccc}b_1=\frac{18}{1+q+q^2} \\\\\frac{b_1}{1-q}=16 . \end{array}\right.\\\frac{18}{(1-q)(1+q+q^2)}=16|:2\\\frac{9}{1-q^3}=8\\9=8-8q^3\\8q^3=-1|:8\\q^3=-\frac{1}{8}\\ q=\sqrt[3]{-\frac{1}{8} } \\q=-\frac{1}{2}.\Rightarrow")
