Идея такая: разбиваем отрезок [a, b] на два: [a, m] и [m, b], где m = (a + b)/2. Длина такого отрезка h = b - a. Cмотрим значения функции f в точках m - ε и m + ε. Если f(m - ε) < f(m + ε), то думаем, что функция возрастает в точке m, и разумно искать ответ на отрезке [a, m]; если f(m - ε) > f(m + ε), то оставляем отрезок [m, b]. Если нам ОЧЕНЬ не повезло, и f(m - ε) = f(m + ε), то оставим отрезок [m - h/4, m + h/4]. При этом в любом случае длина нового отрезка будет h/2. В качестве ε разумно взять желаемую точность, и останавливаться, если новая длина h/2 окажется меньше ε.
Очень маленький ε ставить не следует, при этом очень большую роль начинаю играть ошибки округления.
Точный ответ можно найти, посчитав производную. Должно получиться 
Реализация (python 3.7):
from math import sqrt
def find_min(function_to_minimize, left, right, tolerance=1e-6):
assert left
# print(left, right) # если хотите проследить за тем, как меняются границы
length = right - left
if length
return left
midpoint = (left + right) / 2
y_left, y_right = function_to_minimize(midpoint - tolerance), function_to_minimize(midpoint + tolerance)
if y_left < y_right:
return find_min(function_to_minimize, left, midpoint, tolerance)
elif y_left > y_right:
return find_min(function_to_minimize, midpoint, right, tolerance)
else:
return find_min(function_to_minimize, midpoint - length / 4, midpoint + length / 4)
calculated = find_min(lambda x: x ** 3 - x, 0, 1)
exact = 1 / sqrt(3)
print(calculated)
print(calculated - exact)
Мне выводится ответ 0.5773496627807617
Разница между точным решением и найденным примерно 