Помогите пожалуйста с тригонометрическими уравнениями

+141 голосов
6.4m просмотров

Помогите пожалуйста с тригонометрическими уравнениями

Алгебра (14 баллов) | 6.4m просмотров
Дан 1 ответ
+73 голосов

1) \ \text{tg} \, 3x (2\cos x - \sqrt{2}) = 0

\left[\begin{array}{ccc}\text{tg} \, 3x = 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\2\cos x - \sqrt{2} = 0 \ \ \ \ (2) \\\end{array}\right

(1)\ \text{tg} \, 3x = 0

3x = \text{arctg} \, 0 + \pi n, \ n \in Z

3x = \pi n, \ n \in Z

x = \dfrac{\pi n}{3}, \ n \in Z

(2) \ 2\cos x - \sqrt{2} = 0

\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi k, \ k \in Z

x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, \ k \in Z

Ответ: x = \dfrac{\pi n}{3}, \ n \in Z; \ x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, \ k \in Z

2) \ \cos^{2} 2x + \sin^{2}2x + \sin x - 1 = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

1 + \sin x - 1 = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

x = (-1)^{n}\arcsin \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) + \pi n, \ n \in Z

x = (-1)^{n} \cdot (-1) \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \pi n, \ n \in Z

x = (-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in Z

Ответ: x = (-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in Z

3) \ 1 + \cos x = 2 - \sin^{2}x

1 + \cos x - 2 + \sin^{2}x = 0

\cos x - 1 + 1 - \cos^{2}x = 0

\cos x - \cos^{2}x = 0

\cos x(1 - \cos x) = 0

\left[\begin{array}{ccc}\cos x = 0, \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\1 - \cos x = 0 \ \ \ \ (2) \\\end{array}\right

(1) \ \cos x = 0

x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z

(2) \ 1 - \cos x = 0

\cos x =1

x = 2\pi k, \ k \in Z

Ответ: x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z; \ x = 2\pi k, \ k \in Z

(682 баллов)
+59

спасибо

оставил комментарий (14 баллов)
+91

Это общая формула решения уравнений вида sin(x)=a: x=(-1)^n×arcsin(x)+πn, nєZ

оставил комментарий (682 баллов)
+152

А что обозначает во втором х=(-1)^n

оставил комментарий (14 баллов)
Похожие задачи