Наибольшее (наименьшее) значение на указанном промежутке функция принимает в критичеких точках (в них производная функции равна 0 или не существует) или на концах указанного промежутка.
Поэтому:
f(х) = х² - 6х + 5 на промежутке [0; 4],
f'(x) = (x² - 6x + 5)' = 2x - 6,
f'(x) = 0, 2x - 6 = 0,
2x = 6,
x = 3 - критичекая точка, 3 ∈ [0; 4].
Найдем значения функции в критичской точке и на концах отрезка, а затем выберем из них наименьшее:
f(0) = 0² - 6 · 0 + 5 = 5,
f(3) = 3² - 6 · 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4,
f(4) = 4² - 6 · 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3.
Наименьшим из полученных чисел является число -4, значит,
fнаим = f(3) = -4.
Ответ: -4.