Найти общий интеграл дифференциального уравнения (однородные) 2xy'=2y+xtg(2y/x)

+755 голосов
717k просмотров

Найти общий интеграл дифференциального уравнения (однородные) 2xy'=2y+xtg(2y/x)

Математика | 717k просмотров
Дан 1 ответ
+78 голосов

2xy' = 2y + x \, \text{tg} \, \dfrac{2y}{x} \ \ \ | : 2x \neq 0

y' = \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2y}{x}

Пусть f(x,y) = \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2y}{x}

Тогда f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{\lambda y}{\lambda x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2\lambda y}{\lambda x} = \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2y}{x} = \lambda^{0}f(x,y)

Имеем однородную функцию нулевого измерения относительно переменных x и y

Подстановка: y = ux, \ y' = u'x + u, где u = u(x)

Имеем:

u'x + u = \dfrac{ux}{x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2ux}{x}

u'x + u = u + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, 2u

\dfrac{du}{dx} \cdot x = \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, 2u \ \ \ |: x \neq 0

\dfrac{du}{dx} = \dfrac{\text{tg} \, 2u}{2 x} \ \ \ | \cdot dx

du = \dfrac{\text{tg} \, 2u}{2x} \, dx \ \ \ \Big| \cdot \dfrac{2}{\text{tg} \, 2u}

\dfrac{2\,du}{\text{tg} \, 2u} = \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \dfrac{2\,du}{\text{tg} \, 2u} = \int \dfrac{dx}{x}

(1) \ \displaystyle \int \dfrac{2\, du}{\text{tg} \, 2u} = \int \dfrac{2\cos 2u}{\sin 2u} \, du = \left|\begin{array}{ccc}\sin 2u = t\\2\cos 2u \, du = dt\\\end{array}\right| = \int \dfrac{dt}{t} =

= \ln |t| + C_{1} = \ln |\sin 2u| + C_{1}

(2) \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| + C_{2}

\ln |\sin 2u| + C_{1} = \ln |x| + C_{2}

\ln |\sin 2u| = \ln |x| + \ln|C|

\ln |\sin 2u| = \ln |Cx|

\sin 2u = Cx

Обратная подстановка:

\sin \dfrac{2y}{x} = Cx — общий интеграл

y = \dfrac{x}{2} \arcsin (Cx) — общее решение

Ответ: y = \dfrac{x}{2} \arcsin (Cx)

(682 баллов)
Похожие задачи