При каких значениях a и b равенство 1/(x²-5x-6)=a/(x-6) + b/(x+1) является тождеством

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Ответ:

a = 1/7, b = -1/7

Объяснение:

Рассматривается равенство:

$\displaystyle \tt \frac{1}{x^2-5 \cdot x-6}= \frac{a}{x-6}+\frac{b}{x+1}.$

Правую часть приводим к общему знаменателю:

$\displaystyle \tt \frac{a}{x-6}+\frac{b}{x+1}=\frac{a\cdot (x+1)+b\cdot (x-6)}{(x-6) \cdot (x+1)}=\frac{a\cdot (x+1)+b\cdot (x-6)}{x^2-5 \cdot x-6}.$

Получим равенство вида:

$\displaystyle \tt \frac{1}{x^2-5 \cdot x-6}=\frac{a\cdot (x+1)+b\cdot (x-6)}{x^2-5 \cdot x-6}.$

Так как в равных дробях знаменатели дробей равны, то для равенства должны равняться и числители. Поэтому получаем равенство:

1 = a·(x + 1) + b·(x - 6).

Если последнее равенство выполняется при любом x∈R, то равенство превращается в тождество.

Раскроем скобки в последнем равенстве и перепишем как тождество:

1 ≡ (a - 6·b) + x·(a + b).

В левой части тождества не участвует член с переменной x и поэтому в правой части тождества не должно участвовать, то есть:

a + b = 0 или a = -b.

Константы из левой части и из правой части тождества должны быть равными, то есть

a - 6·b = 1.

Так как a = -b, то получим уравнение

a + 6·a = 1.

Отсюда

7·a = 1 или a = 1/7.

Тогда

b = -a = -1/7.

axatar_zn (8.6k баллов) 30 Июль, 24