Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных...

+252 голосов
5.6m просмотров

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня. ​


Алгебра (16 баллов) | 5.6m просмотров
+94

аналитический способом

Дан 1 ответ
+145 голосов

x^2-6x+a^2-8a=0\\ \\ (x-3)^2+a^2-8a-9=0\\ \\ (x-3)^2=8a+9-a^2

Уравнение имеет два различных корня когда его правая часть принимает положительные значения

image0\\ \\ a^2-8a-9" alt="8a+9-a^2>0\\ \\ a^2-8a-9" align="absmiddle" class="latex-formula">

Теперь нужно учесть, что при некоторых a уравнение может иметь два корня, но при этом один из корней не удовлетворяет ОДЗ

x^2-a\ne 0\\ \\ x\ne \pm\sqrt{a}

(\sqrt{a})^2-6\sqrt{a}+a^2-8a=0\\ \\ a^2-6\sqrt{a}-7a=0\\ a=0;\\ a=9

(-\sqrt{a})^2-6\cdot (-\sqrt{a})+a^2-8a=0\\ \\ a^2+6\sqrt{a}-9a=0

Корни этого уравнения смотрите на фото.

При a \in (-1;0)\cup (0;1{,}5)\cup(1{,}5;6{,}68)\cup(6{,}68;9) уравнение имеет ровно два различных корня.

(152k баллов)