Помогите с математикой! Решить без использования теории суммы рядов и т.п., используя...

Question

Помогите с математикой! Решить без использования теории суммы рядов и т.п., используя знания на уровне 7-8 класса

Comments

лучше ряд 1/n(n+2) он тогда с единицы будет а не с 3

Answer 1

1/(n^2 - 1) = (n + 1 - (n - 1))/2((n - 1)(n + 1)) = 1/2(1/(n-1) - 1/(n+1))

1/3 = 1/2(1 - 1/3)

1/8 = 1/2 (1/2 - 1/4)

1/15 = 1/2(1/3 - 1/5)

1/3 + 1/8 + .....+ 1/(n^2 - 1) = 1/2(1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + 1/4 - 1/6 +...+ 1/(n-2) - 1/n + 1/(n - 1) - 1/(n + 1)) =1/2(1 + 1/2 - 1/n - 1/(n + 1)) =  (3n^2 +n -1)/4n(n+1)

1/n + 1/(n+1) = (2n+1)/n(n+1)

3/2 - (2n+1)/n(n+1) = (3n^2 + 3n - 2n - 1)/2n(n+1)

ответ (3n^2 +n -1)/4n(n+1)

Comments

Должен быть ответ в виде числа (сумма для n>3)

Answer 2

1/(n²-1)=1/(2*(n-1))-1/(2*(n+1))=0.5*((1/(n-1))-(1/(n+1)))

n=2; а₂=0.5*(1-1/3)=1/3

n=3; а₃=0.5*(1/2-1/4)=1/8

n=4; a₄=0.5*(1/3-1/5)=0.5*2/15=1/15

n=5; а₅=0.5*(1/4-1/6)=1/24

n=6; а₆=0.5*(1/5-1/7)=1/35

n=7 ; а₇=0.5*(1/6-1/8)=1/48

s=1/3+1/8+1/15+..+1/(n²-1)=0.5*(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+1/5-1/7+1/6-1/8+...+

1/(n-1))-(1/(n+1)));

очевидно, если устремить n⇒∞, то последняя дробь обратится в нуль.  Тогда сумма ряда равна 0.5*(1+1/2)=3/4, но условием предусмотрено найти сумму раяда для n>3, т.е. от 3/4 надо отнять сумму двух первых членов (1/3+1/8)=11/24

3/4-11/24=(18-11)/24=7/24