Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$z= \sqrt{49-x^{2}-y^2 } ; x^{2} +y^2 = 33$

$z= \sqrt{49-x^{2}-y^2 }$ - это верхняя половина сферы с радиусом 7 и центром в начале координат

х² + у² = 33 - это цилиндр с осью по OZ радиусом r = √33

рисунок прилагается

найдем пересечение этих фигур

z = √(49-33) = √16 = 4

V = ∫∫∫dx dy dz

$V = \left \{ {{3\leq z\leq =\sqrt{49-x^{2}-y^2 } } \atop {x^2+y^2=33}} \right.$

перейдем к цилиндрическим координатам

$\left[\begin{array}{ccc}r cos\alpha\\y= r sin\alpha ;dxdydz=rdrd\\ z=z\end{array}\right]$

$V = \left[\begin{array}{ccc}{3\leq z \leq \sqrt{49-r^2}\\{0\leq r\leq \sqrt{33} \\0\leq \alpha \leq 2\pi \end{array}\\$

$V=\int\limits^{2\pi }_0 {} \, d\alpha \int\limits^{\sqrt{33}} _0 {} \, dr \int\limits^{\sqrt{49-r^2} }_0 {r} \, dz =\int\limits^{2\pi }_0 {} \, d\alpha \int\limits^{\sqrt{33}} _0 {(\sqrt{49-r^2}-3})r \, dr$

посчитаем

$\int\limits^{\sqrt{33}} _0 {(\sqrt{49-r^2}-3})r \, dr =\\ \int\limits^{\sqrt{33}} _0 {(\sqrt{49-r^2}})r \, dr -3\int\limits^{\sqrt{33}} _0 r \, dr =\frac{99}{2}+93 = 142,5$

теперь, наконец, посчитаем объем

$V = \int\limits^{2\pi }_0 {142.5} \, d\alpha x = 285\pi$