Помогите срочно Вычислить предел функции или числовой последовательности lim x→П

+729 голосов
4.4m просмотров

Помогите срочно Вычислить предел функции или числовой последовательности lim x→П

Математика (133 баллов) | 4.4m просмотров
Дано ответов: 2
+100 голосов
Правильный ответ

Ответ: 1/4.

Пошаговое объяснение:

При x⇒π числитель и знаменатель стремятся к нулю, поэтому имеем здесь неопределённость вида 0/0. Для её раскрытия применим правило Лопиталя. [ln cos(2*x)]'=-2*sin(2*x)/cos(2*x), [ln cos(4*x)]'=-4*sin(4*x)/cos(4*x),

[ln cos(2*x)]'/[ln cos(4*x)]'=1/2*cos(4*x)/cos(2*x)*sin(2*x)/sin(4*x). Предел произведения 1/2*cos(4*x)/cos(2*x) при x⇒π равен 1/2, а так как sin(4*x)=2*sin(2*x)*cos(2*x), то sin(2*x)/sin(4*x)=1/2*1/cos(2*x). Предел этого выражения при x⇒π тоже равен 1/2, поэтому искомый предел равен 1/2*1/2=1/4.

(90.0k баллов)
+106 голосов

при x\to 0 \ln(1+x)\sim x

\lim\limits_{x\to \pi} \frac{\ln\cos 2x}{\ln \cos 4x}=\lim\limits_{x\to \pi}\frac{\ln(\cos 2x-1+1)}{\ln(\cos 4x-1+1)}=\lim\limits_{x\to \pi}\frac{\cos 2x-1}{\cos 4x-1}=\lim\limits_{x\to \pi}\frac{1-2\sin^2x-1}{1-2\sin^22x-1}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to \pi}\frac{\sin^2x}{\sin^22x}=\lim\limits_{x\to \pi}\frac{x^2}{(2x)^2}=\frac{1}{4}

(147k баллов)
+101

Спасибо

оставил комментарий (133 баллов)
+66

Поэтому логарифмы и заменяются на cos(2x)-1 и cos(4x)-1, так как при замене бесконечно малых на эквивалентные величина предела не меняется.

оставил комментарий (90.0k баллов)
+161

В решении было указано, что при x->0 бесконечно малые x и ln(1+x) эквиваленты. Здесь в роли x выступают cos(2x)-1 и cos(4x)-1.

оставил комментарий (90.0k баллов)
+76

??

оставил комментарий (133 баллов)
+139

Разве его не разлаживают на соs^2 x+sin^2 x

оставил комментарий (133 баллов)
Похожие задачи