Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y=sin 4x в точке x0=π4 .

$y = \sin 4x; \ x_{0} = \dfrac{\pi}{4}$

Геометрический смысл производной: $y'(x_{0}) = k = \text{tg} \, \alpha$

$y' = (\sin 4x)' = \cos 4x \cdot (4x)' = 4\cos 4x$

$y'\left(\dfrac{\pi}{4} \right)= 4\cos \left(4 \cdot \dfrac{\pi}{4}\right) = 4\cos \pi = 4 \cdot (-1) = -4$

Таким образом, $y'\left(\dfrac{\pi}{4} \right)= \text{tg} \, \alpha = -4$

Ответ: $-4$