ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РАЗОБРАТЬСЯ 35 БАЛЛОВ Продолжение биссектрисы угла B треугольника...

Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РАЗОБРАТЬСЯ 35 БАЛЛОВ Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, Ob — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и Ob лежат на окружности с центром M.​

Comments

1. Очевидно,четырехугольнику OAO₁C можно описать окружность . 2. точка M центр этой окружности (нужно приложить усилия)

---

что смущает ? в Ob b индекс , например: центр O₁,O₇, или Oₐ

Answer 1

Центр вписанной окружности (O) - пересечение биссектрис внутренних углов.

Центр вневписанной окружности (Ob) - пересечение биссектрис внешних углов.  

Поскольку центр Ob лежит на биссектрисах внешних углов A и С, он равноудален от прямых AB, AC, BC, следовательно лежит на биссектрисе угла B.  

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов перпендикулярны (сумма смежных углов 180, сумма их половин 90).  

В четырехугольнике AOCOb противоположные углы прямые (сумма 180), следовательно он вписанный, OOb - диаметр.  

Пусть M - середина OOb, центр описанной окружности AOCOb.

AMC =∪AO+∪CO =2ACO +2CAO =A+C

В четырехугольнике ABCM внешний угол равен внутреннему при противолежащей вершине, следовательно четырехугольник вписанный.

То есть M лежит на описанной окружности ABC.

Comments

С точкой Y :) там можно аналогично доказать K1B = AY

---

где именно

---

Немного неточно :(

---

Как видите, пришлось идти мелкими шажками. Студенты наверняка имеют соответствующую тренировочную базу по материалу, им на много проще. Я по сути выстраивал весь путь, несколько раз утыкаясь в зацикленность рассуждений, пока не прорвался. Для головы это хорошее упражнение, но удовольствия от решения на много меньше, чем потрачено усилий.

---

Пусть это точка Р. Это удалось сделать довольно легко (когда правильно задан вопрос, ответ искать просто) - я сравнивал вписанные углы и угол BAK, оказалось, что равны углы MPH и MPB, что и нужно было доказать. 3) Дальше легко увидеть и то, что PX является пргодолжением K1P - оба образуют прямой угол с BH, То есть XK1 оказался перпендикулярным BH, что сразу решает задачу.