3) Найдите значение выражения 2хо–уо, если (хо; уо) – решение системы уравнений: y=... - Все ответы

Дано ответов: 2

Решение:

Из второго уравнения системы выражаем $y$ :

$y = |x+2| - 2$

И подставляем в первое уравнение:

$|x+2|-2=2\sqrt{x+3}$

При этом нужно учитывать, что:

$\displaystyle \left \{ {{x+3 \geq 0} \atop { |x+2|-2 \geq 0}} \right.$

Из первого неравенства получаем, что $x\geq -3$ .

Во втором неравенстве нужно рассмотреть два случая: при $x+2 \geq 0$ имеем, что $x \in [0;\infty)$ , при $x+2 \leq 0$ получаем, что $x \in (-\infty;-4]$ . В итоге $x \in ( - \infty; -4 ] \cup [0; + \infty)$ .

В итоге получаем пересечение $x \in [0; \infty)$ .

Учитывая это, возводим обе части полученного ранее уравнения в квадрат и раскрываем модули:

$|x+2|-2 = 2\sqrt{x+3} \;\;\;\; (x \geq 0)\\\\x+2-2=2\sqrt{x+3} \\\\x = 2 \sqrt{x+3} \\\\x^2 = (2\sqrt{x+3} )^2 \\\\x^2 = 4x + 12\\\\x^2 - 4x - 12 = 0$

При помощи теоремы Виета получаем, что:

$\left[\begin{array}{ccc}x_1=-2\\x_2=6\end{array}\right$

Первый корень не удовлетворяет нас по введенным ограничениям, так что $x=6$ .

Найдем $y$ :

$y = |x+2|-2 = |6+2|-2=6$

Получаем, что $x=6$ и $y=6$ . Эта пара удовлетворяет и первому уравнению, как можно убедиться.

Так что:

$2x_0-y_0 = 2 \cdot 6 - 6 = 12-6=6$

Задача решена!

Ответ: 6.

Olga8128_zn (1.8k баллов) 08 Авг, 24