Дан параллелограмм с диагоналями 80 и 120 см, разница его
сторон составляет 48 см. Примем меньшую сторону за х. Вторая будет х + 48.
Используем формулу диагоналей параллелограмма по теореме косинусов.
d1² = x² + (x + 48)² - 2*x*(x + 48)*cos B.
d2² = x² + (x + 48)² - 2*x*(x + 48)*cos D.
Во втором уравнении заменим cos D на -cos В по свойству углов параллелограмма.
d1² = x² + (x + 48)² - 2*x*(x + 48)*cos B.
d2² = x² + (x + 48)² +2*x*(x + 48)*cos В.
Подставим значения длин диагоналей и сложим уравнения.
80² + 120² = 2x² + 2(x + 48)².
6400 + 14400 = 2x² + 2(x + 48)².
20800 = 2x² + 2(x + 48)². Сократим на 2.
10400 = x² + (x + 48)². Раскроем скобки
10400 = x² + x² + 96x + 2304 или 2x² + 96x - 8096 = 0. Сократим на 2.
x² + 48x - 4048 = 0.
D=48^2-4*1*(-4048)=2304-4*(-4048)=2304-(-4*4048)=2304-(-16192)=2304+16192=18496;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(2root18496-48)/(2*1)=(136-48)/2=88/2=44;
x_2=(-2root18496-48)/(2*1)=(-136-48)/2=-184/2=-92. Отрицательное значение отбрасываем.
Стороны равны 44 и 44+48 = 92 см.
Ответ: периметр равен 2*(44+92) = 272 см.