У ∆АВС ∠С = 90°, АС = 8 см, sin A = 3 5 . Знайдіть довжину гіпотенузи трикутника.

Ответ:

10 см.

Пошаговое объяснение:

В Δ АВС , АС = 8 см, sin A = 3/5. Найти длину гипотенузы.

Так как синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, а по условию дан прилежащий к углу А катет, то найдем косинус угла А.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1$

и учтем, что ∠А - острый, следовательно косинус острого угла положительный .

$sin^{2} A +cos^{2} A=1;\\cos^{2} A= 1-sin^{2} A;\\cos A =\sqrt{1-sin^{2} A} ;\\\\cos A =\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right )^{2} } =\sqrt{1-\dfrac{9}{25} } =\sqrt{\dfrac{25}{25}-\dfrac{9}{25}} =\sqrt{\dfrac{16}{25}} =\dfrac{4}{5}$

Воспользуемся определением.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cos A =\dfrac{AC}{AB} ;\\\\\dfrac{4}{5} =\dfrac{8}{AB} ;\\\\AB = \dfrac{5\cdot 8}{4} = \dfrac{5\cdot 4\cdot2}{4}=5\cdot 2 =10$

Значит, гипотенуза равна 10 см.

#SPJ1