Итак, рассмотрим n-ый рисунок.
Введем систему координат: начало в левом нижнем углу квадрата n×n, единичный отрезок - сторона наименьшего квадрата.
Заметим, что в квадрате n×n можно найти квадраты с длиной стороны от 1 до n.
Пусть ищем квадраты k×k (1≤k≤n).
Тогда каждый квадрат k×k однозначно задаётся координатами его левого нижнего угла ( и правда, пусть не так => существует другой квадрат со стороной k, у которого левый нижний угол совпадает с левым нижним углом исходного. Но тогда, т.к. их стороны параллельны оси абсцисс, каждая его вершина совпадает с вершинами исходного квадрата => квадраты совпадают - противоречие)
Заметим, что и абсцисса, и ордината левого нижнего угла квадрата не превосходят n-k ( пусть не так, существует квадрат, у которого хотя бы одна из координат левого нижнего угла > n-k. Без нарушения общности считаем, что это x. Но тогда абсцисса правого нижнего угла > n-k+k=n, т.е. находится за границами квадрата n×n - противоречие.), обе координаты ≥ 0 (по построению системы координат), и при этом каждая точка, соответствующая этому условию, задаёт квадрат.
Тогда всего таких квадратов (n-k+1)(n-k+1)=(n-k+1)².
Тогда всего квадратов на этом рисунке f(n)=(n-1+1)²+(n-2+1)²+...+(n-n+1)²=n²+(n-1)²+...+1²=n(n+1)(2n+1)/6
f(1)=1*2*3/6=1
f(2)=2*3*5/6=5
f(3)=3*4*7/6=14
f(8)=8*9*17/6=4*3*17=12*17=204