Дан параллелограмм ABCD. ** сторонах BC и CD взяты соответственно точки M и N так, что CM...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Ответ:

Площадь треугольника AMN равна 24 ед.²

Объяснение:

Дан параллелограмм ABCD. На сторонах BC и CD взяты соответственно точки M и N так, что CM : MB = 2 : 1 и CN : ND = 2 : 1. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь параллелограмма ABCD равна 54.

Дано: ABCD - параллелограмм;

М ∈ ВС; CM : MB = 2 : 1;

N ∈ CD; CN : ND = 2 : 1;

S(ABCD) = 54.

Найти: S(AMN)

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

⇒ S(BCD) = S(BAD) = 54 : 2 = 27;

S(ABC) = S(ADC) = 54 : 2 = 27.

Рассмотрим ΔMCN и ΔBCD.

∠C - общий;

CM : MB = 2 : 1 ⇒ СМ : СВ = 2 : 3;

CN : ND = 2 : 1 ⇒ CN : CD = 2 : 3.

⇒ ΔMCN ~ ΔBCD (по углу и двум пропорциональным сторонам)

k = 2/3 - коэффициент подобия.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

$\displaystyle \frac{S(MCN)}{S(BCD)}=k^2\\ \\ S(MCN)=27\cdot \frac{4}{9}=12$

Рассмотрим ΔАСN и ΔAND.

AE - высота этих треугольников.

Если треугольники имеют одну высоту, то отношение их площадей равно отношению оснований.

$\displaystyle \frac{S(ACN)}{S(AND)}=\frac{NC}{DN}=\frac{2}{1}$

⇒ S(AND) = 27 : 3 = 9

Аналогично для ΔACM и ΔАМВ с высотой АН:

$\displaystyle \frac{S(ACM)}{S(AMB)} = \frac{CM}{MB}=\frac{2}{1}\\ \\$

⇒ S(AMB) = 27 : 3 = 9

S(AMN) = S(ABCD) - S(MCN) - S(AND) - S(AMB) =

= 54 - 12 - 9 - 9 = 24 (ед.²)

Площадь треугольника AMN равна 24 ед.²

natalyabryukhova_zn (33.0k баллов) 12 Авг, 24