У трикутнику медіана проведена до сторони утворює з нею кут 120°. дві інші сторони...

+220 голосов
6.4m просмотров

У трикутнику медіана проведена до сторони утворює з нею кут 120°. дві інші сторони дорівнюють 14 і 2✓19. знайдіть сторону. пожааалуйста​

Геометрия (16 баллов) | 6.4m просмотров
+104

20

оставил комментарий (654k баллов)
Дан 1 ответ
+71 голосов

Против большего угла лежит большая сторона. Обозначим AB=2\sqrt{19},~ BC=14. Поскольку BM — медиана, то AM=MC=\dfrac{AC}{2}. Достроим до параллелограмма ABCD. Воспользуемся свойством: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

2(AB^2+BC^2)=BD^2+AC^2

BD^2+AC^2=2\cdot \Big((2\sqrt{19})^2+14^2\Big)=544

По теореме Косинусов из треугольника BMC :

BC^2=MB^2+MC^2-2MB\cdot MC\cdot \cos 120^\circ \\ \\ 14^2=\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2+\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2-2\cdot \dfrac{BD}{2}\cdot \dfrac{AC}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ 14^2\cdot 4=BD^2+AC^2+BD\cdot AC

14^2\cdot 4=544+BD\cdot AC\\ \\ BD\cdot AC=240~~\Rightarrow~~ BD=\dfrac{240}{AC}

Далее подставляем BD в то выражение, где было использовано свойство, мы имеем:

\left(\dfrac{240}{AC}\right)^2+AC^2=544\\ \\ \dfrac{240^2}{AC^2}+AC^2-544=0

Пусть AC^2=t при этом image0" alt="t>0" align="absmiddle" class="latex-formula">, получим

\dfrac{240^2}{t}+t-544=0~~~\Big|\cdot t\ne 0\\ \\ t^2-544t+240^2=0\\ \\ D=(-544)^2-4\cdot 1\cdot 240^2=65536;~~\sqrt{D}=256

t_1=\dfrac{544-256}{2\cdot 1}=144;~~~~~~~~~ t_2=\dfrac{544+256}{2\cdot 1}=400

Теперь выполним обратную замену

AC^2=144~~~\Rightarrow~~~ AC=12\\ \\ AC^2=400~~~\Rightarrow~~~ AC=20

Ответ: 12 или 20.

(149k баллов)
+84

Разбирайтесь и задавайте вопросы. Успехов Вам !

оставил комментарий
+186

Господи, спасибо ❤️

оставил комментарий (16 баллов)
Похожие задачи