Найти площадь фигуры, ограниченной линиями1) y=–3x²–2, x=1, x=2, y=–1 помогите плиз

+440 голосов
5.3m просмотров

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями1) y=–3x²–2, x=1, x=2, y=–1 помогите плиз


Математика (13 баллов) | 5.3m просмотров
Дано ответов: 2
+54 голосов
Правильный ответ

Ответ:

y=-3x^2-2\ ,\ \ y=-1\ ,\ \ x=1\ ,\ \ x=2\\\\S=\int\limits^{b}_{a}\, \Big(y_1(x)-y_2(x)\Big)\, dx=\int\limits^2_1\, \Big(-1-(-3x^2-2)\Big)\, dx=\int\limits^2_1\, (3x^2+1)\, dx=\\\\\\=(x^3+x)\Big|_1^2=(8+2)-(1+1)=10-2=8

(832k баллов)
+181 голосов

Решение:

Для решения подобных задач обычно применяют формулу Ньютона-Лейбница:

          \displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)

  • В данном случае f(x) = (-1) - (-3x^2 - 2) = 3x^2+1 (вычитаем именно из y=-1, так как эта функция находится выше, чем y=-3x^2-2, на изучаемом промежутке; как видно из приложенного чертежа).

Прямые x=1 и x=2 дают нижний и верхний пределы a=1 и b=2 соответственно.

Зная, что первообразная от f(x) равна

          F(x) = \displaystyle 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 1 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} = x^3+x,

можно (в конце концов!) считать интеграл:

\boxed {\displaystyle \int\limits^2_1 { \Big ( 3x^2+1 \Big )} \, dx = \Big ( x^3+x \Big ) \Big | ^2_1 = (2^3 + 2) - (1^3 + 1) = 10 - 2 = 8}

Задача решена!

Ответ: 8 .

(1.8k баллов)