Биссектриса AD треугольника ABC равна отрезку DC, AC=2AB. Найдите величину угла ADB в...

По свойству биссектрисы: $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}~~\Rightarrow~~AD=2BD$ .

Обозначим $\angle ADB=\alpha$ , тогда $\angle ADC=180^\circ -\alpha$ (как смежные).

Далее воспользуемся теоремой косинусов для треугольников BDA и ADC, мы имеем:

$AC^2=AD^2+CD^2-2AD\cdot CD\cos \big(180^\circ -\alpha\big)=2AD^2\big(1+\cos \alpha\big)$

$AB^2=BD^2+AD^2-2BD\cdot AD\cos \alpha =\dfrac{5AD^2}{4}-AD^2\cos \alpha$

Второе равенство подставляем в первое, приняв во внимая AC=2AB

$4\left(\dfrac{5AD^2}{4}-AD^2\cos \alpha\right)=2AD^2\big(1+\cos \alpha\big)\\ \\ AD^2\big(5-4\cos \alpha\big)=2AD^2\big(1+\cos \alpha\big)\\ \\ 5-4\cos \alpha=2+2\cos \alpha\\ \\ 6\cos \alpha=3\\ \\ \cos \alpha=\dfrac{1}{2}$

$\alpha =\arccos\frac{1}{2}=60^\circ$

Ответ: 60 градусов.

znanija.com/task/37801192

Биссектриса AD треугольника ABC равна отрезку DC , AC=2AB. Найдите величину угла ADB в градусах.

Дано: ΔABC ; ∠BAD =∠CAD (AD Биссектриса) ; AD=DC ; AC=2AB - - - - - - - - - - - - - -

∠ADB -?

Ответ: 60°

Объяснение: обозначаем ∠C=α ( α _угол острый )

AD = DC ⇒ ∠DAC =∠C=α ; ∠ADB= ∠DAC+∠C = 2α

(∠ADB внешний угол треугольника ADC ) .

∠BAC = 2∠DAC =2α ; ∠B =180° -(∠BAC+∠C) = 180°-3α.

По теореме синусов: AB / sin∠C = AC /sin∠B ⇔

AB / sinα = 2AB/sin (180° - 3α) ⇔ AB / sinα = 2AB / sin3α ⇔

sin3α=2sinα ⇔sinα(3 -4sin²α) =2sinα || sinα≠0 || ⇔ 3 - 4sin²α = 2 ⇔

4sin²α = 1 ⇔ sinα=1/2 α=30° ∠ADB =2α = 60° .

(∠C=30° ; ∠A =60° ; ∠B =90°)