15) Найдите наименьшее значение функции на отрезке [4;6]

Ответ:

В точке х=5 функция принимает наименьшее значение -1

Пошаговое объяснение:

Сначала найдем значения функции на концах отрезка

$f(4)=(4-6)*e^{4-5}=-\frac{2}{e}$

$f(6)=(6-6)*e^{6-5}=0$

Теперь исследуем функцию на наличие экстремума в пределах отрезка.

Найдем ее производную, как производную произведения

$f'(x)=e^{x-5}+(x-6)e^{x-5}=e^{x-5}(x-5)$

Приравниваем производную к нулю

$e^{x-5}(x-5)=0$

Показательная функция не может быть равна нулю, поэтому нулю равна скобка, т.е. х=5 - локальный экстремум. Исследуем как меняется знак производной в этой точке

$f'(4)=e^{4-5}(4-5)=-\frac{1}{e}$ - функция убывает

$f'(6)=e^{6-5}(6-5)=e$ - функция возрастает, значит точка х=5 - точка минимума функции. Значение функции в этой точке

$f(5)=(5-6)e^{5-5}=-1$

Из всех трех значений, именно это наименьшее. Значит функция принимает наименьшее значение -1 в точке x=5. Подкреплю свои расчеты графиком.

15) Найдите наименьшее значение функции ** отрезке [4;6]