Так как среди сумм есть нечётное число 21, на доске обязательно были выписаны хотя бы одно чётное и хотя бы одно нечётное (обозначим их соответственно Ч и Н). Так как известны только пять сумм из шести, причём среди них ровно одна нечётная, всего нечётных сумм не более двух.
Рассмотрим все возможные варианты чётности оставшихся двух чисел:
1. На доске были записаны числа Н Ч Ч Ч. Но тогда должно было быть записано три нечётные суммы (Н с каждым Ч), что невозможно.
2. На доске были записаны числа Н Ч Н Ч. Но тогда должно было быть записано четыре нечётные суммы (I + II, I + IV, II + III, III + IV), что невозможно.
3. На доске были записаны числа Н Ч Н Н. Но тогда должно было быть записано три нечётные суммы (Ч с каждым Н), что невозможно.
Все рассмотренные варианты оказались невозможными, значит, Петя ошибся при вычислении.